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Congetture, verifiche e dimostrazioni

Didattica della matematica e sperimentalismo. Congetture, verifiche e dimostrazioni. Fermat e Eulero insegnano a fare matematica.

Allenare gli studenti a fare congetture è un’attività alla quale i docenti di matematica prestano sempre più attenzione. Maestro insuperabile in tale abilità fu Pierre de Fermat (1607–1665). Le sue geniali congetture sono ancor oggi il lievito di formidabili sviluppi nella matematica. La più famosa delle congetture, l’equazione xn+yn=zn non ammette radici intere per n>2, è stata risolta da Andrew Wiles solo nel 1994. Congetture che spesso Fermat aveva asserito di aver dimostrato e non sempre era riuscito ad annotarne compiutamente le dimostrazioni, come quella relativa ai numeri della forma 2^{2^{n}}+1 che la storia ricorda con il suo nome: numeri di Fermat. Accade che:

2^{2^{0}}+1=3; 2^{2^{1}}+1=5; 2^{2^{2}}+1=17; 2^{2^{3}}+1=257; 2^{2^{4}}+1=65537

Fermat congetturò che tutti i numeri di tal forma fossero primi.

Così però non è! Anzi, pare che i soli numeri di Fermat ad essere primi siano solamente questi cinque. A sconfessare Fermat,  fu Eulero. Trovò che:

2^{2^{5}}+1 = 641\cdot 6700417

Fermat e Eulero insegnano come fare matematica con metodo sperimentale, congetturando e verificando.

In Matematica in movimento, Gabriele Lolli ricorda però che è Eulero ad essere stato scelto dai moderni sperimentalisti come loro antesignano. Nella sintesi di Lolli, lo sperimentalismo è uguale a matematica+calcolatore: è osservare, congetturare, verificare e dimostrare. Una posizione cioè che nel campo dell’insegnamento ha assunto il significato di fare matematica.

A sostegno della loro tesi, gli sperimentalisti esemplificano il modo di lavorare di Eulero.

L’esempio è un’altra delle congetture di Fermat: ogni primo della forma 8n+1 o 8n+3 può essere scritto come a2+2b2.

Eulero affronta la questione nel modo più semplice e naturale possibile: calcola e registra in una tabella i risultati di a2+2b2, ove a e b sono interi. Nella tabella riporta tutti i numeri n da 1 a 500 e ragionandoci su è condotto a osservare che:

  • se nella tabella c’è n allora ci dovrà essere anche 2n;
  • se n è nella tabella anche i suoi divisori primi sono nella tabella;
  • se vi compaiono n ed m allora anche il loro prodotto vi comparirà.

Ma soprattutto Eulero verifica che la congettura di Fermat sembra proprio vera: se n è primo allora è della forma 8n+1 o 8n+3. 

Eulero però non si accontenta e va oltre. Nella sua verifica prosegue  fino a 1000, ma alla fine passa a darne una demonstratio solida. Una dimostrazione rigorosa. Ecco quanto scrive:

«Quamvis autem huiusmodi proprietas per assiduam observationem fuerit animadversa, quae per se menti non parum esse iucundas, tamen, nisi demonstratio solida accrescerit, de eius veritate non satis certi esse possumus; exempla enim non desunt, quibus sola inductio in errorem praecipitaverit. Tum vero ipsa demonstratio non solum omnia dubia tollit, sed etiam naturae numerorum penetralia non mediocriter recludit nostramque numerorum cognitionem continuo magis promovet, a cuius certe doctrinae perfectione adhuc longissime sumus remoti. Verum si cui haec forte non magni momenti esse videantur, quid vix unquam ullum in Mathesi applicata usum habitura putentur, usus, quem inde in ratiocinando adipiscimur, non est contemnendus».

La traduzione, con la collaborazione del docente di latino, del passo euleriano è certamente da consigliare in un liceo. Costituisce peraltro l’occasione per una traduzione non appartenente ai classici della romanità, ma alla matematica del XVIII secolo.

In ogni caso una traduzione la fornisce lo stesso G. Lolli.  È la seguente:

Benché tale proprietà sia stata controllata da attente osservazioni, con piena soddisfazione della nostra mente, ciò nonostante non possiamo essere certi della sua verità, se non si aggiunge una salda dimostrazione. C’è un’abbondanza di esempi in cui la sola induzione ha portato ad errori. Perché in effetti la dimostrazione se non elimina ogni dubbio, ma pure illumina i misteri della loro natura e grandemente accresce la nostra conoscenza dei numeri, la cui teoria è ancora lungi dall’essere perfetta. E se non appare di grande importanza negli usi che sono considerati rilevati nella matematica applicata, non si deve sottostimare l’utilità che ne ricaviamo nel ragionamento».

Il passo ridà valore alla dimostrazione. Il suo significato è testimonianza chiara e autorevole che non possiamo essere certi della verità di una congettura, se non con una salda dimostrazione. Sapere però che una determinata dimostrazione esiste non comporta necessariamente che essa debba essere conosciuta nei suoi dettagli. Nell’insegnamento della matematica è un’operazione di grande rilievo quella di scegliere le dimostrazioni che è più opportuno che gli studenti apprendano.

NOTA

Per altri esempi sul modo di lavorare di Eulero, si veda qui. In particolare:

Tracce per fare matematica: la somma degli inversi dei quadrati

 

 

 

 

Autore

  • Laureato in matematica, docente e preside e, per quasi un quarto di secolo, ispettore ministeriale. Responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Segretario, Vice-Presidente e Presidente Nazionale della Mathesis dal 1980 in poi e dal 2009 al 2019, direttore del Periodico di Matematiche.

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