La presenza delle trasformazioni geometriche nella didattica della Matematica. Gli anni della matematica moderna e del PNI.
Il lento processo di rinnovamento dei programmi scolastici, avviato in Italia nei primi anni del dopoguerra, trovò un forte incentivo nei mutamenti culturali, politici e sociali nel passaggio dagli anni ’50 agli anni ’60.
Una tappa significativa per l’insegnamento della matematica, in campo internazionale, fu senz’altro il Seminario di Royaumont (23 novembre-4 dicembre 1959) organizzato dall’ OEEC (Organisation for European Economic Cooperation), in seguito divenuto OCSE.
Il dibattito era iniziato negli USA dopo il successo sovietico del lancio del primo Sputnik e riguardava la necessità di un insegnamento valido che potesse preparare adeguatamente i futuri tecnici e i futuri ricercatori. Com’è noto, infine si ebbe un vero e proprio cambio di paradigma sotto l’etichetta di “Matematica Moderna”.
Il grido “Abbasso Euclide! “ di Jean Dieudonné poteva essere interpretato come l’esigenza di una nuova assiomatica per agevolare il metodo dimostrativo, oppure come l’invito a conoscere i matematici meno lontani nei tempi e nei metodi, quali Cantor, Klein, Russell, Hilbert.
In realtà , l’evoluzione del pensiero matematico non solo metteva in luce l’inadeguatezza dei vecchi metodi d’insegnamento ma apriva nuovi scenari in ambito pedagogico e nelle ricerche sulla psicologia dell’apprendimento. Le principali scuole di psicologia ( Piaget, Bruner, Dienes) favorivano l’insegnamento basato sulla logica dei procedimenti matematici e più attento agli aspetti strutturali della disciplina.
La teoria degli insiemi doveva essere assunta come base dell’aritmetica-algebra e le trasformazioni geometriche come base della geometria.
L’astrazione doveva garantire versatilità nelle applicazioni, la generalità avrebbe salvaguardato l’unità della matematica, l’economia di pensiero avrebbe reso più agile il processo di apprendimento.
Per quanto riguarda le trasformazioni geometriche, il “programma di Klein” imponeva una concezione organica della geometria fondata su una gerarchizzazione dei gruppi di trasformazioni e la sua integrazione in una visione unificata delle matematiche.
E’ noto che, entro un decennio, la svolta bourbakista si rivelò fallimentare nei paesi in cui era entrata in maniera decisa nella didattica. In Italia il cambiamento fu più lento e, comunque, alcuni eccessi sul piano dell’astrazione furono mitigati a favore soprattutto di un approccio di tipo attivo e costruttivo.
Alcuni importanti rinnovamenti strutturali nell’istruzione, come l’istituzione della Scuola media unica, richiedevano anche un’attenta revisione dei contenuti. L’obiettivo di una scuola democratica, lontana da qualsiasi discriminazione dovuta al ceto sociale, portò al ridimensionamento dello studio del latino, emblema di una formazione di tipo elitario e riservato all’istruzione liceale o magistrale. L’attenzione si spostò sul valore formativo delle materie scientifiche e in particolare della matematica moderna.
D’altro canto, l’abbinamento dell’insegnamento della matematica e delle scienze naturali suggeriva un approccio interdisciplinare più vicino all’attivismo pedagogico di Decroly.
Per quanto riguarda la scuola secondaria superiore, furono istituite alcune classi pilota e ai docenti furono offerti corsi di aggiornamento e nuovo materiale editoriale, senza però un piano di rinnovamento globale e organico.
La proposta di un approccio alla geometria basato sull’algebra lineare e sugli spazi vettoriali, fu condivisa in pieno da Bruno de Finetti che la inserì nei cosiddetti “Programmi di Frascati”, una delle più interessanti proposte di rinnovamento che furono avanzate in attesa di una riforma della scuola secondaria superiore che, com’è noto, non trovò, nel secolo scorso, le condizioni politiche favorevoli ad una sua attuazione.
L’argomento era visto in un’ottica fusionista: collegamento tra analisi e geometria, facile superamento della distinzione tra geometria del piano e geometria dello spazio.
Sostanzialmente il metodo delle trasformazioni si fondava su tre idee innovative:
- favorire un’idea dinamica della geometria
- spostare l’attenzione dalle figure allo spazio cui appartengono
- mettere a fuoco il concetto di corrispondenza ( e quindi di funzione) collegando ambiti diversi
Le trasformazioni geometriche entrarono a pieno titolo nei programmi della scuola media, rinnovati nel 1979.
«Lo studio della geometria trarrà vantaggio da una presentazione non statica delle figure che ne renda evidenti le proprietà nell’atto del loro modificarsi; sarà anche opportuno utilizzare materiale e ricorrere al disegno. La geometria dello spazio non sarà limitata a considerazioni su singole figure, ma dovrà altresì educare alla visione spaziale. E’ in questa concezione dinamica che va inteso anche il tema delle trasformazioni geometriche.»
I ragazzi dovevano, pertanto, familiarizzare con le trasformazioni osservando le deformazioni di modelli materiali di figure geometriche ( metodo di cui più volte la stessa Emma Castelnuovo aveva testimoniato l’efficacia) per passare in seguito alle applicazioni del piano ( o dello spazio) in sé, rafforzando il concetto di applicazione di un insieme A in un insieme B.
Franca Falcucci (1926-2014)
Nei licei si deve aspettare il Piano Nazionale Informatica. varato da Franca Falcucci nella seconda metà degli anni ‘80, progetto che riuscì a coinvolgere moltissime scuole e moltissimi docenti in attività di aggiornamento e di sperimentazione.
Nel biennio, lo studio della geometria doveva condurre progressivamente l’allievo dalla intuizione e dalla scoperta di proprietà geometriche alla loro descrizione razionale e allo sviluppo di «limitate catene di deduzione».
«Il docente potrà, cioè, condurre l’allievo a familiarizzarsi con il metodo ipotetico-deduttivo su parti circoscritte della geometria, senza la preoccupazione di pervenire alla costruzione di un sistema globale di assiomi. Ed è in questa prospettiva che egli programmerà, in un quadro di riferimento organico, una scelta delle proprietà (teoremi) delle figure piane da dimostrare, utilizzando la geometria delle trasformazioni oppure seguendo un percorso più tradizionale».
La possibilità di fondare la costruzione del piano euclideo sulla nozione di trasformazione (per esempio con l’approccio metrico alla Choquet), non ebbe molto seguito dopo l’esperienza delle classi pilota. Si rivelò, altresì, molto efficace l’introduzione delle trasformazioni nella descrizione , nella dimostrazione delle proprietà delle figure, nella risoluzione di problemi col metodo sintetico, in particolar modo dopo l’ingresso ,nella didattica, dei software di Geometria dinamica .
Nel triennio era previsto lo studio delle trasformazioni col metodo analitico
«Equazioni delle isometrie e delle similitudini. Affinità e loro equazioni. Proprietà invarianti. Il cambiamento del sistema di riferimento sarà collegato alla determinazione delle equazioni delle isometrie, già studiate nel biennio in forma sintetica; potrà anche servire per ampliare lo studio delle coniche. Dalle isometrie si passerà allo studio delle similitudini e quindi a quelle delle affinità, considerando via via le proprietà geometriche invarianti rispetto alle diverse trasformazioni. Questo procedimento, che si inquadra nella concezione di Klein della geometria, tenderà a far vedere allo studente il progressivo ampliamento dei relativi gruppi di trasformazione e la conseguente riduzione delle proprietà delle diverse figure man mano che si passa dalla geometria della congruenza a quella affine».
Il collegamento con l’algebra lineare favorisce una sinergia tra la potenza dei calcoli e l’intuizione geometrica e inoltre induce nello studente una certa flessibilità nella risoluzione dei problemi. Si pensi, ad esempio, al classico esercizio che consiste nello stabilire quanti e quali elementi occorrono per individuare una trasformazione oppure alla composizione di due trasformazioni che si avvale delle operazioni su matrici e , contemporaneamente, attribuisce ad esse un significato concreto.
E’ sempre possibile, comunque, partire da esempi reali, quali le ombre di un oggetto prodotte da sorgenti diverse su piani diversamente posti.
Le proiezioni tra piani paralleli suggeriscono lo studio delle isometrie se i raggi, provenienti da una sorgente lontana come il sole, possono essere considerati paralleli; suggeriscono lo studio delle similitudini se i raggi sono incidenti , come quelli provenienti da una lampada. Le ombre proiettate su un piano incidente mediante raggi paralleli, suggeriscono le trasformazioni affini.
Ci sono modi diversi di essere uguali, proprio come le ombre di uno stesso oggetto, che ne conservano solo alcune determinate proprietà.
In seguito, il confronto tra le proprietà gruppali delle isometrie (esistenza dell’elemento neutro, esistenza dell’inverso, chiusura rispetto al prodotto) e le note proprietà dell’uguaglianza, ( riflessiva, simmetrica e transitiva), la successiva generalizzazione al gruppo delle similitudini e delle affinità, costituisce un momento significativo di maturità di pensiero e di capacità di astrazione
Il metodo analitico permetteva , infine, un agevole confronto tra il processo di restrizione (dalle trasformazioni più generali a quelle particolari) e il processo inverso di estensione
Nelle Indicazioni nazionali del 2010, lo studio delle trasformazioni appare decisamente ridimensionato:
«Lo studente acquisirà la conoscenza delle principali trasformazioni geometriche (traslazioni, rotazioni, simmetrie, similitudini con particolare riguardo al teorema di Talete) e sarà in grado di riconoscere le principali proprietà invarianti» ( Primo biennio).
Nel quadro di riferimento per la formulazione della prova scritta (2018), si precisa: «Applicare simmetrie, traslazioni e dilatazioni riconoscendone i rispettivi invarianti.»
Sembra, comunque, completamente scemata l’attenzione agli aspetti strutturali della disciplina, mentre viene enfatizzato l’aspetto applicativo, con il continuo riferimento alla costruzione di modelli per lo studio dei fenomeni reali.
Nelle prove d’esame, a partire dal 2015, si parla tutt’al più di simmetrie, relativamente alle proprietà del grafico di una funzione o, implicitamente, di affinità o traslazioni nell’analisi di una famiglia di funzioni dipendenti da parametri.
Può essere interessante, per una riflessione sui risultati delle sperimentazioni, un confronto con i testi delle prove assegnate alle classi sperimentali, orientativamente dall’inizio degli anni ’90 del secolo scorso, al primo decennio del secolo attuale.
Se ne propone, pertanto, una breve selezione, assieme ad alcune tracce degli anni precedenti, in cui le trasformazioni lineari entrano un po’ “in sordina”, come un suggerimento ai docenti a prendere in considerazione la loro valenza didattica.
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