Sul numero 1000009 Eulero si era sbagliato

Le strategie per fare matematica. Da un episodio della storia: Eulero si era sbagliato sul numero 1000009, ma solo inizialmente.

Leonardo Eulero (1707 – 1783)

Una pubblicazione del 1774 di Eulero includeva una lista di numeri primi abbastanza grandi.

In questo elenco figurava anche 1000009 che però non è primo. Ad accorgersi dell’errore ed a rimediarvi fu però lo stesso Eulero. L’aveva inserito perché 1000009 si presenta come la somma di due quadrati, è 1000² + 3², e perché aveva ritenuto che questa decomposizione fosse l’unica ad esprimerlo come somma di due quadrati. Poi però ne scoprì un’altra. Scoprì che 1000009 = 235²+ 972² cosa che si riallaccia ad una delle “note a margine” di Fermat: se un numero dispari A ammette più di una scomposizione nella somma di due quadrati, allora A è un numero composto.  Dunque 1000009 è un numero composto. Ha divisori propri. Come determinarli?

Eulero ragionò al modo seguente:

Sia A un numero dispari tale che: A = p²+ q² = r²+ s ²

Dall’uguaglianza si ha: p²– r² = s²– q²  ovvero (p – r)(p+r) = (s + q)(s – q) che scritta sotto forma di proporzione dà, con a e b primi fra loro:

Valgono dunque, con h e k interi, le relazioni:

p+r = ha          s+q = ka

s – q = hb         p – r = kb

che quadrate e sommate membro a membro, danno:

p²+ r²+ 2pr+ s²+ q²– 2sq = h² (a²+b²)

s²+ q²+ 2sq+ p²+ r²– 2pr= k² (a²+b²)

e sommando ancora:

2 (p²+q²+r²+s²) = (h²+k²) (a²+b²) = 4A

Quindi a²+ b² divide A se a e b sono uno pari l’altro dispari; se invece sono entrambi dispari allora a dividere A è 1/2 (a²+b²).

Posto A = 100009, la determinazione dei suoi divisori è dunque immediata.  Da 235²+ 972²=1000² + 3² si ha:

Quindi a=58, b=7, cioè a²+b²=3413 e questo è uno dei divisori cercati. L’altro è 293.

Questo episodio della vita matematica di Eulero è raccontato da Tobias Dantzig in Il numero. Linguaggio della scienza.

Un libro del 1930. Forse il più bel libro di matematica che sia stato mai scritto. In ogni caso un libro che fa parte della bella letteratura matematica, che non si legge mai definitivamente, che offre ancora oggi, a distanza di quasi un secolo, pagine da rileggere. Un libro al quale tutti gli altri seguenti hanno attinto, copiosamente. La traduzione italiana è del 1965, opera di  Liliana Ragusa Gilli, che aveva già tradotto, Che cos’è la matematica? di Courant e Robbins.

Riguardo all’episodio del 1000009, Dantzig così chiude il suo racconto:

«Non è noto come Eulero sia arrivato alla seconda scomposizione. Il prodigioso senso del numero e la memoria fenomenale di questo maestro del calcolo sono già di per sé stupefacenti, ma quel che rende ancor più profondo il mistero è il fatto che, nel tempo in cui questo accadde, Eulero, più che settantenne, era cieco da più di dieci anni ed aveva già precedentemente sofferto di gravi disturbi alla vista».