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Il numero 2231 è primo?

Strategie di lavoro per fare matematica. Il numero 2231 è primo? Reuben Hersh descrive un metodo per deciderlo.

Un numero n∈N è primo se non ha altri divisori oltre 1 e n.

Il tema dei numeri primi è così pervasivo e così ricco di storia da costituire una miniera pressoché inesauribile per chiunque insegni la matematica. Un immenso tesoro ove attingere a piene mani. Vi si trovano vere gemme didattiche destinate a brillare nelle menti dei giovani che le acquisiscono. Dal crivello di Eratostene, per setacciarli come si fa con la farina di granoturco, alla loro numerosità: quanti sono? Domanda alla quale rispose già Euclide nel III sec. a.C. con un ragionamento consegnato alla storia come una delle più belle dimostrazioni della matematica. Un ragionamento che presentava, peraltro, per la prima volta nella storia, il concetto di fattoriale di n, anche se per il suo simbolo n! bisognerà aspettare Christian Kramp che lo introdusse nel 1808.

E ancora: quanti numeri primi s’incontrano contando da 1 a 100? Quanti se ne incontrano nel primo milione o nel successivo? Qual è la loro densità? Cioè: nell’insieme N, i numeri primi come sono distribuiti? Eppoi: ci sono formule che danno tutti i primi? Perché la formula n2 -n + 41 funziona così bene e come vi giunse Eulero? Sono problemi, procedure di calcolo, dimostrazioni, che danno luce al fare matematica. Se ne è parlato già in precedenti articoli, in particolare:

Al fine di arricchire una costituenda raccolta di strategie di lavoro per fare matematica, si aggiunge ora un nuovo problema:

Si può sempre decidere se un numero è primo? E come?

È un problema che riguarda anche la risolubilità effettiva, la teoria degli algoritmi, la complessità numerica. In genere un problema può essere risolubile in linea di principio, ma richiedere tanto di quel tempo da rendere inappagato ogni desiderio di vederne la soluzione. In questo caso quanto è complesso il problema? I matematici recentemente (2002) hanno trovato che è di complessità P (la P sta per polinomiale) cioè risolubile in un tempo polinomiale per distinguerlo da altri problemi di complessità NP (non polinomiale) com’è ad esempio il problema, ad esso legato, della fattorizzazione di un intero. In ogni caso solo le macchine possono rendere trattabili simili problemi per numeri grandi. Un esempio potrà dare indicazioni sulla complessità.

L’esempio: 2231 è un numero primo? Ecco come Reuben Hersh descrive la procedura per rispondere:

Sappiamo come rispondere. 2231 è primo se non è divisibile per nessun numero primo compreso fra 1 e 2231. E allora basta dividere 2231 per tutti i numeri da 2 a 2230. Questa fatica può essere alleviata. Se 2231 è composto, si scriverà come prodotto di due numeri, uno più grande e uno più piccolo o anche uguali. Basterà trovare il più piccolo. Dato che 472= 2249 Il fattore più piccolo deve essere minore di 47. Inoltre, non è necessario dividere 2231 per tutti i numeri più piccoli di 47, perchè se 2231 avesse un fattore composto, sarebbe divisibile per i fattori primi di tale numero composto. Ci basterà quindi controllare i numeri primi minori di 47: 2,3,5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, e 43.

Ora 2231 è dispari, quindi 2 non è un suo fattore. La somma delle sue cifre è 8, che non è divisibile per 3 e quindi 3 non è un fattore. Non finisce per 5 nè per 0, e quindi 5 non è un fattore. La somma delle cifre di posto pari e di posto dispari prese con segni rispettivamente opposti da: +2-2+3-1 che non è multiplo di 11; quindi 11 non è un fattore. Adesso prendete la vostra calcolatrice e dividete per 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41 e 43. Se nessuno di essi divide 2231 esattamente (cioè con resto 0), 2231 è primo.Reuben Hersh, Cos'è davvero la matematica, Baldini Castoldi, 2001

Il prossimo esempio non sarà un numero di 4 cifre. Sarà di 7 cifre: il numero 1000009.  È primo? Eulero diede la risposta nel 1774, ovviamente senza l’aiuto delle macchine ma ragionando in modo diverso.

 

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