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Una fonte d’ispirazione per fare matematica

I libri costituiscono una buona fonte dove attingere nuove ispirazioni per fare matematica in classe e educare altresì al gusto di leggere e scrivere.

Il numero meraviglioso: la sezione aurea

Durante la mia classica ricerca estiva di libri ispiratori di nuove idee per l’attività didattica mi sono imbattuta nel libro  Il numero meraviglioso: la sezione aurea, di Marco Iosa.

Il libro non è un saggio matematico, il taglio non è quello!

È  un racconto che parla con passione della bellezza della matematica e dell’armonia dell’universo attraverso citazioni cinematografiche e musiche pop. E’, dunque, un libro consigliabile agli alunni per avvicinarli alla storia della matematica, ma anche un incentivo per i docenti a mostrare “la bellezza della matematica” non solo attraverso le formule, ma anche mediante la storia dei suoi personaggi  trasmettendo la passione che li ha portati a quelle scoperte.

ll libro parla dei grandi matematici, seguendo solo a grandi linee l’ordine cronologico degli eventi. Inizia con Pitagora ed il suo famoso teorema; cita aneddoti sulla scuola pitagorica e quel famoso, poco scientifico, ipse-dixit aristotelico, nonché la dimostrazione per assurdo dell’irrazionalità di √2 .

L’autore si sofferma in modo particolare su Euclide.

Nel suo libro Gli Elementi viene infatti descritto per la prima volta, in modo dettagliato, il problema geometrico: dividere un segmento in due parti delle quali la maggiore sta alla minore così come l’intero segmento sta alla parte maggiore. Il problema cioè che ha come soluzione proprio la sezione aurea, indicata con l’espressione estrema e media ragione.

Ed ecco la sua dimostrazione:

Se indichiamo con “x” la lunghezza del segmento con “a” la parte maggiore e con “b” la parte minore (fig.1) potremmo tradurre il problema con il seguente sistema

\left\{\begin{matrix} a+b=x & & \\ \frac{a}{b}=\frac{x}{a} & & \end{matrix}\right.\

sostituendo la prima equazione nella seconda e considerando a=1 otteniamo x2-x-1=0 e x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}escludendo la soluzione negativa quella positiva è pari a 1,6180339887498948482045…,cioè Φ.

La carrellata continua, passando per Platone, Aristotele, Socrate ed Alessandro Magno e molti sono gli spunti da utilizzare nella lezione, a scuola.

Tra questi certamente il problema di Fibonacci: quante coppie di conigli nascono ogni mese partendo da una singola coppia iniziale, assumendo che ogni coppia generi una nuova coppia al mese, ma che i nuovi nati procreino solo a partire dal secondo mese? Il problema cioè che ha come soluzione la ben nota successione di Fibonacci

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,….

dove ogni numero è dato dalla somma dei due numeri che lo precedono.

Solo successivamente Keplero (1611) scoprì che dividendo un numero di Fibonacci per il numero che lo precede questo rapporto si avvicina al valore della sezione aurea quanto più i numeri di Fibonacci da cui si ottiene sono grandi (ovvero la sezione aurea indica l’asintoto a cui tende il rapporto di due numeri consecutivi di Fibonacci).

Si scopre così un legame tra tre elementi distinti, sezione aurea, successione di Fibonacci e spirale logaritmica.

Un legame che si ritroverà in moltissimi sistemi naturali e che per molti studiosi è legata all’armonia del mondo, come per Keplero che scrisse: “la geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l’altro è la sezione aurea di un segmento: il primo lo possiamo paragonare a un oggetto d’oro il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello”.

Non è possibile tra gli altri non citare Galileo Galilei, non solo per il suo rigoroso “metodo scientifico”, dopo di lui si cercheranno le “prove” delle proprie affermazioni, ma soprattutto per il suo invito, da estendere agli alunni, a guardare il mondo che ci circonda

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.Galileo Galilei, Il Saggiatore

L’autore continua citando aneddoti sulla sezione aurea mostrandone la presenza in alcune opere architettoniche, in particolare del rettangolo aureo (rettangolo dove il lato lungo sta al lato corto in proporzione di f)

Il Partenone fu costruito con i lati della sua facciata proprio secondo la proporzione geometrica f, non a caso la scelta di questa lettera greca, proprio in onore di Fidia il suo architetto.

Oppure di opere artistiche nelle quali è rappresentata la Divina Proporzione, come nella “Flagellazione di Cristo” di Piero della Francesca

così come in molte altre opere di Raffello, Michelangelo, Leonardo e in natura.

Nell’ultimo capitolo, infine, trovo ispirazione per possibili attività didattiche.

Attività fondamentali, particolarmente apprezzate durante il periodo di pandemia, finalizzate ad aiutare gli alunni a costruire il proprio sapere. Non a caso il capitolo inizia con i versi di una celebre canzone di Roberto Vecchioni che ben accompagna questo tipo di attività.

Sogna, ragazzo, sogna,
ti ho lasciato un foglio sulla scrivania
manca solo un verso a quella poesia
puoi finirla tu…

Proprio perchè la sezione aurea ci rivela ogni giorno la sua presenza in nuovi campi dello scibile umano, l’autore del libro è divenuto famoso per aver dimostrato che il ritmo dei nostri passi si basa sull’armonia della sezione aurea,  ho pensato di invitare gli alunni a ricercare un esempio di sezione aurea presente in natura, in architettura, nel corpo umano…e verificarne, costruendo sull’immagine, mediante l’utilizzo di GeoGebra, la sezione aurea stessa (costruzione con riga e compasso) ed il conseguente rettangolo aureo. Relazionare poi il tutto sotto forma di elaborato, specificandone storia e motivazione, da esporre alla classe.

A titolo esemplificativo ho scelto il girasole, immagine che utilizzo sempre nella prima lezione di Geometria in associazione alla già citata frase di Galileo invitando gli alunni a guardarsi intorno con gli occhi curiosi di un matematico…

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