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Il mistero di un piccolo polinomio prodigioso

Le ipotesi sulle ragioni che potrebbero spiegare il prodigio di un polinomio di secondo grado che genera numeri primi in abbondanza. Un altro dono di Eulero.

Di numeri primi si è parlato più volte su Matmedia, ultimamente in: Sul numero 1000009 Eulero si era sbagliato e in: Il numero 2231 è primo?

Se ne è parlato nell’ambito di una raccolta di strategie didattiche adatte a coinvolgere docenti e studenti, accomunandoli nel ragionare operativo. Se ne è parlato cioè con lo scopo di offrire tracce di lavoro per fare matematica. Strategie di un pensiero pedagogico che trae  nutrimento dalla storia e dalla letteratura. La storia per motivare, indicando radici e significati di problemi e procedure risolutive; la letteratura per documentare, comprendere, acquisire modi di dire, comunicare la matematica.

«Fin da quando Euclide provò che il totale dei numeri primi è infinito, i matematici hanno cercato il modo di determinare o meno se un dato numero risulti primo. Ma nessun metodo applicabile a tutti i numeri è stato trovato. È abbastanza curioso il fatto che vi siano fondate ragioni per credere che certi matematici del diciassettesimo secolo, i quali dedicarono una grande parte del loro tempo alla teoria dei numeri, avessero il mezzo di riconoscere i numeri primi a noi sconosciuti. Il matematico francese Mersenne e il suo contemporaneo assai più grande Fermat, avevano un misterioso modo di determinare i valori p per i quali 2p-1 è primo. Non è ancora stato chiaramente stabilito con quale ampiezza essi avessero sviluppato il loro metodo, e, anzi, che metodo esattamente applicassero. È perciò tuttora causa di meraviglia che Fermat replicasse, senza un momento di esitazione, ad una lettera che gli chiedeva se 100.895.598.169 fosse primo, ch’esso era il prodotto di 898.423 e 112.303 e che ciascuno di questi numeri era primo. Senza una formula generale per tutti i primi, un matematico, ancora oggi, può dover spendere anni per scovare la risposta corretta».

L’oggi del brano riportato sopra è quello del 1940 l’anno in cui Kasner e Newman pubblicarono il loro magnifico Matematica e immaginazione dal quale il brano è tratto.

L’oggi del 2021 è molto diverso.

Non è stata trovata una formula generale per tutti i primi, ma basta accendere il computer per sincerarsi della diversità. Ad esempio:  3.456.789.431 è primo? Esistono software che lasciano appena il tempo per digitare il numero per mostrare la risposta: si è primo! [VEDI]

La disumana immediatezza della meccanizzazione ha utilità e fascino, ma anche limiti. Non giunge a fornire il piacere di conoscere da dove essa stessa esca fuori e da dove esca e perché funzioni, ad esempio, una semplice formula come f(n)= n2+ n + 41 [o anche f(n) = n2– n + 41].

A fornirla fu il solito gigante: Eulero. Ma è un mistero come vi giunse.

Essa ha una proprietà abbastanza particolare: se si pone n uguale a un qualunque numero compreso tra 0 e 39, il valore f(n) è un numero primo. Ad esempio f(0)=41 è primo, come lo sono f(1)=43, e f(2)=47.

Sebbene la sequenza dei numeri primi si arresti per n = 40, perché f(40)=412, la formula produce ancora molti numeri primi. «Tra i primi 10 milioni di valori di f(n) la proporzione di primi è circa uno su tre». L’affermazione è di Keith Devlin in Dove va la matematica del 1994, nell’edizione originale.

Perché questa formula funziona così bene nel generare numeri primi? K. Devlin fa una ipotesi.

Se la f(n) la pensiamo estesa al campo reale, allora l’equazione y = x2+ x + 41 è una parabola del semipiano y > 0  che non ha intersezioni con l’asse x in quanto il suo discriminante è negativo: è -163. «Qui, che lo si creda o no, – afferma K. Devlin – sta la ragione del comportamento speciale della formula di Eulero come generatrice di numeri primi. La sua particolarità non sta nel fatto che il discriminante sia negativo (parecchie formule hanno questa proprietà), ma che il suo valore sia esattamente -163».

Cosa ha di particolare il numero 163? A parte il fatto di presentarsi così simile al 153 della pesca miracolosa del Vangelo di Giovanni?

Secondo Devlin due sono le caratteristiche del numero 163 che aiutano a svelare il mistero della formula prodigiosa.

La prima riguarda i tre irrazionali √163, π, e. Sono legati dal fatto sorprendente che eπ√163 calcolato con quindici cifre decimali dà per risultato: 262537412640768744,999 999 999 999 250

Cioè arrestandosi alla dodicesima eπ√163 è “quasi” un intero:262537412640768744 seguito da dodici zero.

Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

La seconda è legata agli interi di Gauss del tipo a+b√-d,

È legata al fatto che 163 è il più grande valore di d per cui il sistema di numeri a+b√-d ammette una fattorizzazione unica. Questa seconda particolarità è ovviamente molto più profonda per i legami che evidenzia tra fattorizzazione, numeri primi, interi di Gauss, equazioni diofantee….Un vortice di connessioni che, per chi le scopre, è fonte di quell’eccitazione intellettuale che è la bellezza del fare matematica.

Devlin ha spinto ad indagare sul perché la formula che Eulero diede nel 1772 funzioni così bene, altri matematici nel frattempo si sono impegnati a ricercare altri polinomi quadratici che generino numeri primi altrettanto bene se non addirittura meglio della f(n) di Eulero.

In un articolo di Fuentes – Meirose – Tou del 2017 si trovano riportati i seguenti polinomi a coefficienti interi con a fianco indicato i primi generati per n ∈ [0, 99]

  1. (n – 65)2 + (n – 65 ) +41                  95
  2. 4(n – 40)2 + (n – 40) + 41               88
  3. n2– n + 41                                            86
  4. 2(n-117)2− 199                                  81
  5. n2 + n  – 39                                         23

Colpisce in queste formule l’insistente presenza di 41. Bisognerebbe chiedersi perchè? Ma l’articolo citato ha molti altri pregi: è un buon resoconto dello stato della ricerca aggiornato al 2017 e fa anche cenno a polinomi i cui coefficienti sono interi di Gauss.

 

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