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Un metodo per il calcolo della radice di due

Un metodo per il calcolo della radice quadrata di due che risale a Teone di Smirne, autore di un saggio sulla matematica utile a comprendere la filosofia platonica. Il legame con l’algebra lineare e le matrici.

La storia della matematica annovera almeno due Teone. Il più famoso dei due è Teone di Alessandria che visse nel IV secolo d.C.; scrisse un commentario sull’Almagesto di Tolomeo; pubblicò nuove edizioni degli Elementi di Euclide e fu padre di Ipazia divenuta icona della matematica al femminile. L’altro è Teone di Smirne vissuto qualche secolo prima, a cavallo tra il I e il II secolo d.C.; fu professore della locale scuola platonica e scrisse un’opera didattica per spiegare la matematica necessaria per comprendere la filosofia di Platone.

L’opera ebbe grande notorietà.

Costituì infatti uno dei testi più usati per l’insegnamento del quadrivio nella Bisanzio medievale e più tardi anche in Occidente. Nel XVI secolo fu tradotta in latino: Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium. Di essa Federico Maria Petrucci ha compiuto uno studio che si segnala per chiarezza e completezza. In effetti si deve al successo pedagogico della Expositio se talvolta Teone di Smirne viene ricordato come un matematico quando fu soprattutto un filosofo. E infatti non sono molti gli storici della matematica che ne fanno menzione. Tra questi, Silvio Maracchia, certamente tra i più autorevoli esperti della classicità,  che nella sue storie dell’algebra e della matematica greca dedica più di una citazione alla Expositio. Ugualmente fa Tobias Dantzig nel libro di cui più volte si è detto: Il numero. Linguaggio della scienza.

Dantzig esprime la sua meraviglia sul fatto che in Teone di Smirne si trovi per √2 l’eccellente approssimazione 1+5/12, senza però, egli dice, una spiegazione esauriente di come Teone l’abbia ottenuta. Una spiegazione si trova nella Linear algebre through its applications, del 1972 di T. J. Fletcher, un ispettore delle scuole inglesi, grande rinnovatore dell’insegnamento della matematica.

Ecco il metodo di Teone applicato al calcolo della radice quadrata di 2.

Il dato di partenza è la coppia (1, 1). Il passo successivo consiste nel calcolare i valori successivi di (x, y) rimpiazzando, a ciascuna tappa, (x, y) con (x+2y, x+y). I dati via via ottenuti sono sistemati nella tabella seguente:

x y x2 y2 x2/ y2 x/y
1 1 1 1 1 1
3 2 9 4 2,25 1,5
7 5 49 25 1,96 1,4
17 12 289 144 2,0069 1,4167
41 29 1681 841 1,9988 1,4138
99 70 9801 4900 2,0002 1,4143

La costruzione della tabella già in questi pochi primi passi mostra che x2/ y2 si avvicina sempre più a 2 e che x/y tende invece ad approssimare sempre meglio √2. È facile dimostrare che si verifica proprio questo!

La dimostrazione è abbastanza agevole. Siano:

x’= x + 2y    e    y’= x + y

Allora è:

\frac{x'}{y'}-\sqrt{2}=\frac{x+2y}{x+y}-\sqrt{2}=\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}y-x)}{x+y} che dividendo numeratore e denominatore per y si può scrivere nella forma più comoda alla finalità della dimostrazione:

\frac{x'}{y'}-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{\frac{x}{y}+1}(\sqrt{2}-\frac{x}{y})

poiché √2 – 1 è minore di 1 mentre dal calcolo in tabella è sempre \frac{x}{y}\geq 1, si può concludere che:

\left | \frac{x'}{y'}-\sqrt{2} \right |< \frac{1}{2}\left | \frac{x}{y}-\sqrt{2}\right |

il che prova che la serie x/y converge a √2 con valori successivi che lo stringono sempre di più da sinistra e da destra, ovvero con approssimazioni che si susseguono alternativamente per eccesso e per difetto.

A questo punto può risultare didatticamente rilevante chiedersi: cosa succede se si prendono per valori iniziali altri numeri naturali? E ancora: come applicare il metodo al calcolo della radice quadrata di un numero diverso da 2?

Infine può risultare interessante tradurre in termini di matrici i calcoli precedenti. Si può a tal fine considerare la trasformazione

(x, y) → (x’, y’) = (x, y)A ove A è la matrice quadrata \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2& 1 \end{pmatrix}

La serie di valori x e y sono dati allora da:

(x, y) ,  (x, y)A,  (x, y) A2 , (x, y)A3 , …

In questo modo Fletcher stabilisce un legame molto stretto fra il metodo di Teone di Smirne e l’algebra lineare, ovvero il calcolo matriciale introdotto  in quegli anni nelle scuole inglesi a livello d’insegnamento secondario.

 

 

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