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Undici proprietà della sfera

Tra le liste minori di David Hilbert: le undici proprietà della sfera, che è la superficie di gran lunga la più semplice e più importante.

Recentemente tra i classici della letteratura della matematica del Novecento è stata ricordata la  Geometria intuitiva (1932) di David Hilbert e Stephan Cohn-Vossen.

L’opera, come è stato detto nell’articolo citato, contiene, nel capitolo dedicato alla geometria differenziale, la lista delle undici proprietà che caratterizzano, anche se non tutte in modo univoco, la sfera, cioè la superficie di gran lunga la più semplice e la più importante tra tutte le superfici aventi curvatura costante, positiva o negativa.

Ecco la lista.

  1. I punti della sfera sono equidistanti da un punto fisso; inoltre, il rapporto delle distanze di ogni suo punto da due punti fissi è pure costante.
  2. I profili e le sezioni piane della sfera sono dei cerchi.
  3. La sfera possiede larghezza e profilo costante.
  4. Tutti i punti della sfera sono degli ombelichi.
  5. La sfera è priva di evoluta.
  6. Tutte le linee geodetiche della sfera sono curve chiuse.
  7. La sfera ha, fra tutti i solidi di egual volume, la minima area superficiale e fra tutti i solidi di egual area superficiale, il massimo volume.
  8. Fra tutti i solidi convessi di egual area superficiale, la sfera possiede la curvatura media totale minima.
  9. La sfera possiede curvatura media costante.
  10. La sfera possiede curvatura gaussiana positiva costante.
  11. La sfera è trasformata in sé stessa da una schiera a tre parametri di movimenti. (significa che l’insieme di tutti i movimenti che fanno coincidere una sfera con sé stessa è dato dalle rotazioni intorno al suo centro, insieme che dipende appunto da tre parametri.

C’è da osservare subito che mentre la lista famosa, quella dei grandi problemi, per essere compresa richiede tuttora un certo livello di competenza matematica, questa delle proprietà della sfera ha un valore molto più modesto.

Uno studente universitario prossimo alla laurea non dovrebbe avere alcuna difficoltà a parlare di ciascuna delle proprietà elencate.

Le stesse proprietà sono comunque, quasi tutte, almeno a livello intuitivo, anche alla portata di uno studente secondario e ciò soprattutto in considerazione del maggiore peso che il Riordino degli studi (2010) ha assegnato all’insegnamento della fisica, in particolare nei licei scientifici.

Altro aspetto importante è la funzione della lista, in genere strumento principe nella gestione della complessità, nell’ambito dell’insegnamento.

D’altronde cos’erano i programmi d’insegnamento o d’esame se non l’elenco dettagliato degli argomenti da studiare e dover dimostrare di conoscere? Anche i più recenti quadri di riferimento (D.M. del 26 novembre 2018) rispondono al criterio di essere un elenco e ugualmente le tavole di apprendimento MIUR-Mathesis. La lista ha cioè una funzione didattica notevolissima.

Per quanto riguarda il tema che si sta affrontando, il geometra che voglia procedere ad uno studio serio e approfondito della sfera ha a disposizione, osservava già Hilbert, tanti materiali disseminati in tante pubblicazioni la cui raccolta oltre a impegnarlo in un lavoro non indifferente lo porterebbe a riempire a sua volta un altro poderoso volume. Poter disporre dell’elenco delle undici proprietà può rivelarsi invece un mezzo per giungere in modo molto più rapido a un’idea complessiva dei concetti importanti non solo per la geometria della sfera, ma anche per la teoria generale delle superfici.  In effetti le proprietà elencate possono, una ad una, fornire la chiave d’accesso ad una visione della geometria molto più completa e chiara nei suoi significati e legami con la realtà fisica.

Tutte le undici proprietà determinano univocamente la sfera?

Sono cioè caratteristiche specifiche della sfera o esistono altre superficie che ne godono? Non è chi non veda come il problema abbia una rilevanza pedagogica notevole. Lo sforzo di dare una risposta porta a chiarire non solo significato e portata delle proprietà in esame ma anche a realizzare un confronto molto più generale.

Mentre ad esempio la proprietà 1 è condivisa anche dal piano, la proprietà 2 è specifica della sfera. I profili e le sezioni piane della sfera sono dei cerchi. Comunque la si tagli! È la proprietà che ci porta a concludere che la terra ha una forma sferica deducendola dal fatto che nelle eclissi di luna la sua ombra è sempre rotonda.

La proprietà 3 è invece posseduta da altre superfici.

Prima di tutto larghezza costante significa che due piani tangenti alla superficie e paralleli fra loro, hanno sempre la stessa distanza reciproca. La sfera può girare tra questi due piani paralleli che mantengono inalterata la loro distanza reciproca. Ma ci sono altre superfici che godono della stessa proprietà. Hilbert e Cohn-Vossen forniscono taluni modelli di superfici siffatte.

Una delle proprietà più affrontate a scuola è la 6.

Riguarda le linee geodetiche. Di queste si parla ai giovani quando si presentano loro modelli di  geometrie non euclidee e si affronta lo studio della fisica moderna. Le linee geodetiche d’una superficie sono una generalizzazione delle rette del piano. Un punto materiale, sul quale non agiscano forze ma che sia costretto a restare su una superficie determinata, si muove sempre lungo una linea geodetica della superficie. Le geodetiche possono essere definite in diversi modi che richiamano le leggi della meccanica: le linee più brevi, le linee frontali, le linee più rette possibili. Quest’ultima dipende dal fatto che un arco geodetico possiede in ogni suo punto la minima curvatura. Essa corrisponde al principio di Jacobi della meccanica e compare altresì nel principio di minimo sforzo di Gauss-Hertz.

Le geodetiche della sfera sono i suoi cerchi massimi, cioè curve chiuse.

Le sfere però non sono affatto caratterizzate da questa proprietà perché esistono molte altre superfici chiuse convesse le cui geodetiche sono pure tutte chiuse. Anche in questo caso la costruzione di modelli di superfici si è rivelata molto utile. Nelle esperienze didattiche di Emma Castelnuovo, le geodetiche sono presentate abbastanza presto: ad esse la docente italiana dedica un bel capitolo di Matematica nella realtà scritto con Gori Giorgi e Valenti. La Castelnuovo ha però fatto solo da apripista, perché il tema è ampiamente riportato dai libri di testo attualmente in adozione.

Di grande interesse didattico è anche la proprietà 7.

Essa determina univocamente la sfera. Fra tutti i solidi, a parità di volume, alla sfera corrisponde la superficie minima e a parità di superficie, il volume massimo. È una generalizzazione alle tre dimensioni del problema degli isoperimetri nel piano. Una generalizzazione che conduce ad un problema di calcolo delle variazioni straordinariamente laborioso come riconoscono Courant e Robbins che affrontano il problema nel loro Che cos’è la matematica?

Una generalizzazione però che trova una semplice dimostrazione sperimentale in ogni bolla di sapone che vaga liberamente nell’aria. Causa la tensione superficiale la bolla tende a contrarre la sua superficie in modo da renderla minima, ma, reciprocamente, anche ad assumere una superficie d’area minima per un dato volume. «L’osservazione – scrivono Hilbert e Cohn-Vossen – ci mostra che tali bolle hanno sempre forma sferica, a meno che non siano soggette in modo prevalente all’influenza della gravità» come avviene, ad esempio, quando aderisce al loro fondo una goccia di liquido».

Le proprietà successive 8, 9 e 10 riguardano tutte il concetto di curvatura media.

La più semplice da “vedere” è la 9. In effetti, che la sfera abbia curvatura media costante segue immediatamente dal fatto che tutte le sue sezioni normali hanno lo stesso raggio di curvatura che è precisamente il raggio della sfera. Per arrivare al concetto di curvatura media totale, invece, è comodo ricorrere all’immagine di una superficie coperta da uno strato di materia, la cui densità sia, in ogni punto, eguale alla curvatura media. La massa complessiva distribuita in tal modo sulla superficie si chiama  curvatura media totale della superficie stessa.

La sfera è l’unica superficie a godere della proprietà 8, non così per le proprietà 9 e 10.

Infine la proprietà 11 che chiama in causa i movimenti che mutano in sé la sfera, ovvero le rotazioni intorno al suo centro. Un insieme che dipende proprio da tre parametri. Tale proprietà però caratterizza, come già la proprietà 1, sia la sfera che il piano.

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